III　 一般の関数をｎ次多項式で近似する．

ここで考える関数 f(x) は何回でも微分可能であるとします．

関数 y=f(x) のグラフを， x=a の近くで
n 次関数で近似するために

II の結果を一般化して， n 次多項式

Fn(x) =(f(n)(a)/n!)(x-a)n +(f(n-1)(a)/(n-1)!)(x-a)n-1 + ... +f '(a)(x-a)+f(a)

を考えよう．ただし， f(k)(x) は f(x) の k 階導関数で， n! は n・(n-1)・・・2・1．

まず，上の多項式で表される n 次関数のグラフを実際に描いて観察して見よう．
(1) 3 次関数 f(x)=-x3+3x について, x=1 の近くで， 2 次関数 y=F2(x) を考えよう． 求めたい関数は

y=F2(x)= (f "(1)/2!) (x-1)2+f '(1)(x-1)+f(1)

です．計算すると (実際)

y=-3(x-1)2+2

となります．次に，3 次関数 y=(x) と 2 次関数 y=-3(x-1)2+2 のグラフを同じ座標平面上に描いてください．

(ここをクリックするとグラフが出ます)

(2) 三角関数 f(x)=cos x について, x=0 の近くで， 2 次関数 y=F2(x) を考えよう． 求めたい関数は

y=F2(x)= (f "(0)/2!) x2+f '(0)x+f(0)

です．計算すると (実際)

y=-x2/2 +1

となります．次に，関数 y=(x) と 2 次関数 y=-x2/2 +1 のグラフを同じ座標平面上に描いてください．

(ここをクリックするとグラフが出ます)

(3) 三角関数 f(x)=sin x について, x=0 の近くで，3 次関数 y=F3(x) を考えよう． 求めたい関数は

y=F3(x) =(f(3)(0)/3!) x3 +(f "(0)/2!) x2+f '(0)x+f(0)

です．計算すると (実際)

y=-x3/6 +x

となります．次に，関数 y=(x) と 3 次関数 y=-x3/6 +x のグラフを同じ座標平面上にいっしょに描いてください．

(ここをクリックするとグラフが出ます)

(4) 三角関数 f(x)=sin x は何回でも微分できます． 任意の n に対して，n 次関数 y=Fn(x) が存在します． 大きな n で考えると，どのようなるのでしょうか． x=0 の近くで見てみましょう．

　まず，n=1,2,3, ... のときに それぞれ n 次関数 y=Fn(x) を計算すると

1. n=1,2 の場合

y=x

2. n=3,4 の場合

y=-x3/6 + x

3. n=5,6 の場合

y=x5/120 - x3/6 + x

4. n=7,8 の場合

y=-x7/5040 + x5/120 - x3/6 + x

となり，一般の場合には，n=2m-1,2m（ただし m は自然数）とすると

y=(-1)m-1x2m-1/(2m-1)! +(-1)m-2x2m-3/(2m-2)! + ... -x3/6+x

となります．

これらのグラフが，f(x)=sin x のグラフに近づいていくようす をアニメーションで観察して見ましょう．

これを観察するために MathReader を起動し,実行ファイル lesson4.nb を開きます。 （file メニューで open をクリックして lesson4.nb を選択）。
(注意） 実行ファイル lesson4.nb が C ドライブのフォルダー MathReader に保存していない場合は ここをクリックして手に入れてください。

観察 3

n 次関数のグラフは，n を大きくしていくと，
三角関数のグラフと重なる範囲が
広がるように描かれていく.

考察 3

上で観察したように，もっと複雑な関数 f(x) に対しても，
y=f(x) のグラフは，点 (a,f(a)) の近くで
先に考えた n 次関数　y=Fn(x) によって
近似することができそうです．
 この理由を考えて見ましょう．

確認３

y=f(x) のグラフを，点 (a,f(a))の近くで，
ｎ次関数のグラフで近似するには

y=(f(n)(a)/n!) (x-a)n +(f(n-1)(a)/(n-1)!) (x-a)n-1 + ... +f '(a)(x-a)+f(a)

とすればよい．

微分できない点が近くにあるとどうなるでしょうか．

(5) 関数 f(x)=1/(1+x) について, x=0 の近くで，n 次関数 y=Fn(x) を考えよう．
この関数は x=-1 で微分できません. このとき

Fn(x)

を計算する． f(n)(x) =(-1)(n)n!/(1+x)(n+1) だから f(n)(0)/n! =(-1)(n) となるので

Fn(x)=1-x+x2-x3+...+(-1)nxn

と計算されます．

アニメーションによってその近似の進行状況を観察して見ましょう．

この近似状態を観察するために MathReader を起動し,実行ファイル lesson5.nb を開きます。 （file メニューで open をクリックして lesson5.nb を選択）。
(注意） 実行ファイル lesson5.nb が C ドライブのフォルダー MathReader に保存していない場合は ここをクリックして手に入れてください。

THANK YOU VERY MUCH

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