多項式近似における注意

Clear[f, c, F]; f[x_] := (1/(1 + x)); Clear[c]; 
    c[k_, a_] := D[f[x], {x, k}]/k! /. x -> a; 
    F[x_, n_, a_] := Sum[c[k, a] (x - a)^k, {k, 0, n}]

ここで x=a  の近くで考える多項式  (Subscript[F, n])(x)が F[x, n, a]\(として定義されました . \ 例えば\) x=0 の近くで考える 3次の多項式 F[x, 3, 0] は

f(0)+ f'(0)x + ((f'' (0))/2) 
                  (x^2) + ((f''' (0))/6) (x^3) = 
              1 - x + (x^2) - (x^3)

と計算されますが

F[x, 3, 0]

\(\(のようになります\)\(.\)\)

\(次の\ G[n, a, m] は\),区間 [a-m,a+m] で 関数 y=(1/(1 + x)) のグラフを青色で, n次関数 y=(Subscript[F, n])(x)のグラフを赤色で同時に表すプログラムです.例えば G[3, 0, 1] とすれば,区間 [-1,1] で y=(1/(1+x )) と
 y=(Subscript[F, 3])(x)=1-x+ (x^2)-(x^3) \(\(のグラフが同時に描かれます\)\(.\)\)

\(Clear[G]; 
    G[n_, a_, m_] := 
      Plot[{f[x], F[x, n, a]}, {x, a - m, a + m}, 
        PlotStyle -> {Hue[0.7], 
			Hue[0.0]}, 
        PlotRange -> {\(-0.2\), 4}, AspectRatio -> Automatic]; 
    G[3, 0, 1]\)

x = 0の近くで \(青色と赤色のグラフが似ています . しかし\),x=1 \(\(の近くはうまく近似されません\)\(.\)\)

さらに大きい次数の多項式  y=(Subscript[F, n])(x)のグラフを考えましょう.
以下は,y=(1/(1 + x)) のグラフ\((青色)\)と y=(Subscript[F, n])(x) (n = 1, 2,  ... ,  
                    20) のグラフ\((赤色)\)です.  これでも
    x = 1の近くではうまく近似されません.
\((下の最初のグラフをクリックし, \(\(点線で囲まれたらダブルクリックしてください\)\(.\)\))\)

Do[G[i, 0, 1], {i, 1, 20, 2}]