数学科教育論
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日本大学理工学部 山本修一
授業のテーマ
グラフで見る関数の多項式近似
接線の計算
高等学校へ入るとすぐに１次関数や２次関数について勉強します。
また，２次関数のグラフ上の１点において，
その接線を求める計算はよくやりました．
接線は１次式です．
２次関数のグラフ全域を１次式で表すことはできませんが，
グラフ上の１点の近くでは，１次式で表せたということが
できます．
この現象を，２次関数のグラフを局所的に１次式で近似する
といいます．
<この授業のねらい>
この授業では，３次関数やもっと複雑な関数を，
グラフ上の１点において，１次関数，２次関数で
近づけていくことを視覚的に学びます．
数式処理ソフト Mathematica を利用して，
グラフを描き，アニメーションによってその近似の進行状況を観察します．
このことを通して，関数を多項式で近似するという意味とテーラーの定理を
理解するのがねらいです．
I ３次関数を１次式で近似する．
(1) ３次関数 f(x)=x 3-x2-2x に対して，
y=f(x) のグラフを描きます.
(ここをクリックしてください)
(2) グラフ上の１点 (0,0) において接線の方程式を計算して
ください．
(ここをクリックすると答えが出ます)
(3) (2) で計算した接線とはどういうものでしょうか．
(ここをクリックするとわかります)
(4)
実際にアニメーションで観察しましょう．
これを観察するために MathReader を起動し,実行ファイル
lesson1.nb
を開きます。
（file メニューで open をクリックして
lesson1.nb
を選択）。
(注意） 実行ファイル
lesson1.nb
が C ドライブのフォルダー MathReader に保存していない場合は
ここをクリックして手に入れてください。
観察 1
グラフ上の２点
(0,0), (1/n,f(1/n)) を通る直線は
n を大きくすると
グラフ上の１点 (0,0) における接線に
近づく.
考察 1
上で考えた点 (0,0) を (a,f(a)) とし，1/n を h として考察すると
確認１
関数 y=f(x) のグラフ上の
１点 (a,f(a))における接線とは，
２点 (a,f(a)),
(a+h,f(a+h)) を通る直線
に対して
値 h を限りなく小さくするとき，
これら直線が近づいていく
直線のことである．
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