接線の意味

関数 f(x) = (x^3) - (x^2) - 2  x   に対して，y=f(x)  のグラフ上の点 (0, 0) で接線を導くために，
2 点 O (0, 0), A ((1/n), f((1/n))) を通る直線を考える．
後で自然数 n を大きくしてその挙動を観察する．

上の直線の傾きを m[n]  で表すと

m[n]=\(TraditionalForm\`\(f(1\/n) - f(0)\)\/\(1\/n - 0\) = \(\(\((1\/n)\)\^3 - \((1\/n)\)\^2 - 2  1\/n\)\/\(1\/n\) = \(-2\) + \((1\/n)\)\^2 - 1\/n\)\)

よって,上の直線の方程式は

y - f(0)=m[n](x-0)

だから

y = (-2 + ((((1/n)))^2) - (1/n))x

与えられた関数のグラフを青色で,
この直線の方程式をn = 
                1,2,3, ... の場合に赤色で
描いて見ると
\((下の最初のグラフをクリックすると点線で囲まれます . 次にダブルクリックしてください)\)

Clear[f, P]; f[x_] := (x^3) - (x^2) - 2  x; 
    P[n_] := (-2 + ((((1/n)))^2) - (1/n)) x; Clear[g]; 
    g[n_] := Plot[{f[x], P[n]}, {x, -2, 2}, 
        PlotRange -> {{-2, 2}, {-4, 2}}, 
        PlotStyle -> {Hue[0.6], Hue[0.0]}, 
        AspectRatio -> Automatic]; Do[g[n], {n, 1, 20}]