接線の意味

関数 f(x)=x^3-x^2-2x   に対して，y=f(x) のグラフ上の点 (0,0) で接線を導くために，
2 点 O (0,0), A (1/n,f(1/n)) を通る直線を考える．
後で自然数 n を大きくしてその挙動を観察する．

直線 OA の傾きを m[n] で表すと

m[n]=(f(1/n) - f(0))/(1/n - 0)=((1/n)^3 - (1/n)^2 - 21/n)/1/n=-2+(1/n)^2-1/n

よって, 直線 OA の方程式は

y-f(0)=m[n](x-0)

だから

y=(-2+(1/n)^2-1/n)x

RowBox[{与えられた関数のグラフを青色で, ,, , RowBox[{この直線の方程式を, StyleBox[Cell[TextData[Cell[BoxData[n = 1, 2, 3 ]]]], FontSize -> 16., FontColor -> RGBColor[1., 0., 0.]], の場合に赤色で描いて見ると}]}]

[Graphics:HTMLFiles/17(1)-3_13.gif]

[Graphics:HTMLFiles/17(1)-3_14.gif]

[Graphics:HTMLFiles/17(1)-3_15.gif]



Underscript[lim, n -> ∞]m[n]=Underscript[lim, n -> ∞](f(1/n) - f(0))/(1/n - 0)= f'(0)=-2

RowBox[{だから, ,, StyleBox[RowBox[{Cell[TextData[Cell[BoxData[n -> ∞ ]]]], のときに}], FontSize -> 16., FontColor -> RGBColor[0., 0., 1.]], ,, 直線 OA のグラフが近づいていく先が接線であることがわかります .}]

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