II　 ３次関数を２次式で近似する．

(1) 前と同じように３次関数 f(x)=x 3-x2-2x に対して， y=f(x) のグラフを 描きます.

(ここをクリックしてください)

(2) 今度は，上のグラフ上の１点 (0,0) に，さらにグラフ上の２点 (-(1/n),f(-(1/n))), (1/n,f(1/n)) を追加して，
３点

(-(1/n),f(-(1/n))), (0,0), (1/n,f(1/n))

を通る２次関数

y=Ax2+Bx+C

を計算します．

(ここをクリックすると，A,B,C の答えが出ます)

(3) n を大きくしていくと (2) で求めた ２次関数はどのように変化するでしょうか．
n を大きくしていくと，1/n2-2 は -2 に 近づくから，２次関数

y=-x2-2x=-(x+1)2+1

のグラフに近づいていきそうです．

実際にアニメーションで観察しましょう．

これを観察するために MathReader を起動し,実行ファイル lesson2.nb を開きます。 （file メニューで open をクリックして lesson2.nb を選択）。
(注意） 実行ファイル lesson2.nb が C ドライブのフォルダー MathReader に保存していない場合は ここをクリックして手に入れてください。

観察 2

(2) で求めた２次関数は，
n を大きくすると

y=-x2-2x=-(x+1)2+1

に近づきますが，
このグラフは原点の近くでは
与えられた３次関数のグラフに
最も近いものといえます．

(4) 再度，アニメーションで観察しましょう．

これを観察するために MathReader を起動し,実行ファイル lesson3.nb を開きます。 （file メニューで open をクリックして lesson3.nb を選択）。
(注意） 実行ファイル lesson3.nb が C ドライブのフォルダー MathReader に保存していない場合は ここをクリックして手に入れてください。

(5) 上の２次関数 y=-x2-2x=-(x+1)2+1 は

y=(f "(0)/2)x2+f '(0)x+f(0)

として（わかりやすい規則で） 計算できることがわかります．
その理由は，下の 考察 からわかります．
考察 2

(2)で計算した A, B は，n で表される式だから
A(n), B(n) のように表す．
このとき, n を大きくすると
　A(n) は f ''(0)/2 に，B(n) は f '(0) に
近づくことがわかる．
（理由を知りたい場合は， ここをクリックするとPDFファイルで説明が出ます）

確認２

関数 y=f(x) のグラフ上の １点 (a,f(a))を定めると，
３点 (a-h,f(a-h)), (a,f(a)), (a+h,f(a+h))
を通る２次関数のグラフは
値 h を限りなく小さくするとき， ２次関数
y=(f "(a)/2)(x-a)2+f '(a)(x-a)+f(a)
のグラフに近づく．

(注意)

グラフ上の３点を
(a,f(a)), (a+h,f(a+h)), (a+2h,f(a+2h))
として 考えても同様の結果が得られます．


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