正弦関数の多項式近似

Clear[f, c, F]; f[x_] := Sin[x]; Clear[c]; 
    c[k_, a_] := D[f[x], {x, k}]/k! /. x -> a; 
    F[x_, n_, a_] := Sum[c[k, a] (x - a)^k, {k, 0, n}]

ここで x=a  の近くで考える多項式  (Subscript[F, n])(x)が F[x, n, a]\(として定義されました . \ 例えば\) x=π の近くで考える 3次の多項式 F[x, 3, π] は

f(π)+f'(π)(x-π)+((f'' (π))/2) (((x - π))^2) + ((f''' (π))/6) (((x - π))^3) = 
              x - π + (1/6) (((x - π))^3)

と計算されますが

F[x, 3, π]

\(\(のようになります\)\(.\)\)

\(次の\ G[n, a, m] は\),区間 [a-m,a+m] で 関数 y=sin x のグラフを青色で, n次関数 y=(Subscript[F, n])(x)のグラフを赤色で同時に表すプログラムです.例えば G[3, π, 2  π] とすれば,区間 [-π,3π] で y=sin x と
 y=(Subscript[F, 3])(x)=π-x+(1/6)(((-π + x))^3)\(\(のグラフが同時に描かれます\)\(.\)\)

\(Clear[G]; 
    G[n_, a_, m_] := 
      Plot[{f[x], F[x, n, a]}, {x, a - m, a + m}, 
        PlotStyle -> {Hue[0.7], 
			Hue[0.0]}, 
        PlotRange -> {\(-3\), 3}]; G[3, π, 2  π]\)

x=π(=3,14...)の近くで \(\(青色と赤色のグラフが似ています\)\(.\)\)

次に x=0 の近くで大きい次数の多項式  y=(Subscript[F, n])(x)のグラフを考えましょう.
以下は,y=sin x のグラフ\((青色)\)と y=(Subscript[F, n])(x) (n = 1, 2,  ... ,  
                    20) のグラフ\((赤色)\)です.
\((下の最初のグラフをクリックし, \(\(点線で囲まれたらダブルクリックしてください\)\(.\)\))\)

Do[G[i, 0, 3*Pi], {i, 1, 20, 2}]