数学科教育論 -特別講義のページ (3)
(グラフで見る三角関数の不思議)


III フーリエ級数展開

フーリエ級数展開ってなあに？

(1) まずここをクリックしてください。

不思議５

えっ！　のこぎりの波のようなグラフが、
三角関数をたくさんプラス(合成）することで表せるようになる？

(2) 自分で実際に見て見ましょう。

これを見るためにを MathReader を起動し,実行ファイル lesson3.nb を開きます （file メニューで open をクリックして lesson3.nb を選択）。
(注意） 実行ファイル L3.nb が C ドライブのフォルダー MathReader に保存していない場合は ここをクリックして手に入れてください。

次に、lesson3.nb を閉じて（file メニューで　close　をクリック)、 別の例を見るために、実行ファイル lesson4.nb を開きます。
(注意） 実行ファイル lesson4.nb が C ドライブのフォルダー MathReader に保存していない場合は ここをクリックして手に入れてください。

(3) このように多くの関数は、三角関数をたくさんくわえたり、引いたりして そのグラフに近づくように表現できます。このようなことが可能に なるのは、三角関数が持つ不思議な性質に関係します。

まず、グラフで見て見ましょう。 ここをクリックしてください。

不思議６

関数 sin kx , cos lx (k, l は任意の正の整数)
から、二つ選んで積を作ると、
例えば sin 3x cos 5x、sin 2x sin 6x のように、
積で表される関数のグラフ、及び x=-Pi, x=Pi
で囲まれる図形の面積は、
例えば sin 2x sin 2x のように
同じものの積でないならば、
正の部分と負の部分は等しい。Pi は円周率。

どうしてでしょうか。?
奇関数、偶関数の性質を利用すると sin kx cos lx の場合はすぐわかります。 sin kx sin lx (k=l ではない）の場合に 三角関数の積を和に直す公式を思い出して 積分の計算で示してください。 (解答できたら、ここをクリックしてください。)
(4) このことを利用すれば、 周期 2Pi を持つ関数 f(x) (すなわち、 f(x+Pi)=f(x) を満たすもの）に対して、sin kx の係数と cos kx の係数を、 このように選んで 和 Snを作れば、 三角多項式 Sn は　n を大きくすれば f(x) に近づく関数になります。
更に、 MathReader を起動し,実行ファイル lesson5.nb を開くと こんなことも可能です。
(注意） 実行ファイル L5.nb が C ドライブのフォルダー MathReader に保存していない場合は ここをクリックして手に入れてください。

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