フ - リエ係数と三角多項式

a_0 = 1/(2π) ∫ _ (-π)^πf(x) d x,
a_k = 1/π ∫ _ (-π)^πf(x) cos kx d x, b_k = 1/π ∫ _ (-π)^πf(x) sin kx d x
(k = 1, 2, ...)

とする。このとき、

StyleBox[RowBox[{RowBox[{Cell[], Cell[TextData[Cell[BoxData[S =]]]], a_0}], +, RowBox[{Undero ... k k

その理由を考えて見ましょう。
不思議６の内容(次の積分の計算）は

∫ _ (-π)^πsin kx  cos lx d x = 0, ∫ _ (-π)^πsin kx  sin lx d x = 0 (k ≠ l), ∫ _ (-π)^πcos kx  cos lx d x = 0 (k ≠ l), ∫ _ (-π)^πcos kx cos kx d x = π などが成立することを意味する。

これから、もし

        f(x) = a_0 + Underoverscript[, k = 1, arg3] a_k cos kx   + b_ksin kx

と表せたとすると、あまりいろいろなことを考えなければ、両辺に cos mx をかけて -π から π まで積分すると,

   ∫ _ (-π)^πf(x) cos mx d x = ∫ _ (-π)^πa_0cos kx d x + Underoverscript[, k = 1, arg3] a_k ∫ _ (-π)^πcos kx cos mx d x + b_k ∫ _ (-π)^πsin kx cos mx d x

が成立します。このとき上の積分の計算結果によって、右辺は a_k π になります。これから、

a_m = 1/π ∫ _ (-π)^πf(x) cos mx d x, b_m = 1/π ∫ _ (-π)^πf(x) sin mx d x

という考え方が出てきます。

Created by Mathematica  (May 27, 2004)