数学科教育論
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日本大学理工学部　山本修一

授業のテーマ

パソコンで微分方程式の解を見る

素朴な疑問

微分方程式 y''+y=0 の解とは，関数 y=f(x) で関係式 y''+y=0 を満たすもののことである．微分法の公式を知っていると y=sin x がそれに該当することがわかる．しかし，微分方程式の解が意味するものは何か？なぜ，あのきれいな正弦曲線 y=sin x がそれになるのでしょうか？

目的

ここでは，簡単な定数係数の微分方程式の解法を，三角関数，指数関数や対数関数の微分法や積分法を用いないで(従がって，これらの知識を知らないと仮定して)，解を近似的に作り出す方法で，それを数式処理ソフト Mathematica を利用してグラフィカルに見ていきます．

(I) 微分方程式 y' + 2y = 0 を初期条件 y(0)=1 のもとで解法

(1)微分方程式から折れ線を作る考え方です．

確認

微分方程式は少し先を予測するシステムであることを理解されたでしょうか

(2)折れ線を描きます．どんな曲線に近づくでしょうか

(3)折れ線はどんな曲線に近づくでしょう．数学的に解きます

(4)折れ線が上の曲線に近づくことをグラフィカルに見てみよう．

(5)さらに理由を考えしょう．