II　 差分法で近似する

(1) 関数 f(x) に対して，lim を用いて導関数 f'(x) を与える式を思い出してください．
(答えはここをクリックするとわかります)

(2) 微分方程式 x''(t) + x(t) =0 から差分方程式を作る方法

上の (1) で示された f(x) を x(t), x'(t) に読み換えて

x'(t)=(x(t+h)-x(t))/h , x''(t)=(x'(t+h)-x'(t))/h

を得る．これを変形して

x(t+h)=x(t)+hx'(t)

x'(t+h)=x'(t)+hx''(t)

とする．また，微分方程式 x''(t)+x(t)=0 より x''(t)=-x(t) だから

x(t+h)=x(t)+hx'(t)

x'(t+h)=x'(t)-hx(t)

なる関係式が成立する．

この２つの関係式を行列を 用いて表したものが差分方程式 です．

(ここをクリックすると，差分方程式が出ます)

この差分方程式は，
２つの値の組 (x(t),x'(t)) から，
h だけ先にある値の組 (x(t+h), x'(t+h)) が
どのような規則で決まるかを指し示している．
（具体的には行列との積を計算する）
(3) n を大きな自然数とし，h=1/n と考えれば，この差分方程式は，初期値 (x(0), x'(0))=(1,0) から順に

(x(1/n), x'(1/n))

(x(2/n), x'(2/n))

(x(3/n), x'(3/n))

(x(4/n), x'(4/n))

....

(x(k/n), x'(k/n))

と決めるルールを与える．

(x(k/n), x'(k/n))を計算する手順は (2) の差分方程式より，
数学的には以下のように表せます．
（自分で考えてみよう）
(ここをクリックすると，その答えが出ます)

このルールを利用すれば，大きな自然数 n に対して， 時間を t=0/n, 1/n, 2/n, 3/n, ... のように表して，この値を x(t)に 代入して

x(0/n), x(1/n), x(2/n), x(3/n), ...

の位置を順に観察していくことで重りの動きを知ることができる． この状況を時間との組

(k/n, x(k/n)) (k=0,1,2, ... )

として観察する．

なんと！　
n を大きくすると、 三角関数 y=cos x のグラフに沿って動くことが観察できる．

この動きを観察するために MathReader を起動し，実行ファイル lesson2.nb を開きます． （file メニューで open をクリックして lesson2 を選択）．
(注意） 実行ファイル lesson2.nb が C ドライブのフォルダー MathReader に保存していない場合は ここをクリックして手に入れてください．

微分方程式を解析的に解くとは，
n を限りなく大きくした状況を考えて，
このような関数 cos x を求めることです．

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