\(（１）\)関数 f[x]の定義

Clear[f]

f[x_] := Sin[x]

\(（２）\)傾き m[n,x] の定義

m[n_, x_] := N[(f[x + 1/n] - f[x])/(1/n)]

\(（３）\)m[n,x] の考察

１ a = π とする

a = Pi

{m[3, a], m[5, a], m[10, a]}

２  曲線 y = f(x) 上で，点 (a, f(a)) を通り m[n, a] を傾きとする直線

M[n_] := 
      Plot[{m[n, a]*(x - a) + f[a], f[x]}, {x, -2 Pi, 2  Pi}, 
        PlotStyle -> {Hue[0.0], Hue[0.3]}, 
        AspectRatio -> Automatic]

M[5]

(4) m[n,x] の考察

１n=k を定める

k = 3

Plot[m[k, x], {x, -Pi/2, Pi}, PlotStyle -> Hue[0.6], 
      AspectRatio -> Automatic]

\(（５）\)cos[x]とm[k,x] の比較

Plot[{Cos[x], m[k, x]}, {x, -Pi/2, Pi}, 
      AspectRatio -> Automatic, 
      PlotStyle -> {Hue[0.0], Hue[0.6]}]

\(（６） アニメーション\)

Do[Plot[{Cos[x], m[n, x]}, {x, -Pi/2, Pi}, 
        AspectRatio -> Automatic, 
        PlotStyle -> {Hue[0.0], Hue[0.6]}], {n, 2, 20, 2}]