考え方

導関数の定義より, 近似的に (Δx が非常に小さいときに) 次の二つの式を得る．

f (x + Δx) = 
      f (x) + f' (x) Δx
f' (x + Δx) = 
      f' (x) + f'' (x) Δx

上の式がすべての x と非常に小さい Δx で成立していると考える．ここで Δx = (1/n)とする．このとき，微分方程式 y'' + y = 0 が成立することは，次の二つの式が成立することと同じである．

f (x + (1/n)) = f (x) + f' (x)×(1/n)

f' (x + (1/n)) = 
      f' (x) + (-f (x))×(1/n)

これを行列で表すと

(({{f(x + (1/n))}, {f' (x + (1/n))}}))=(({{1, (1/n)}, {-(1/n), 1}}))(({{f(x)}, {f' (x)}}))

f(0) = 0, f' (0) = 1 だから，上の式で，x = 0, (1/n),(2/n),(3/n), と代入していくと自然数 k に対して

(({{f ((k/n))}, {f' ((k/n))}}))=(((({{1, (1/n)}, {-(1/n), 1}})))^k)(({{0}, {1}}))

が得られる．

２階の線形微分方程式の場合は，f(x) とf' (x) の組で先を予測するシステムになる．
このとき，座標  (Subscript[x, k])=(k/n) , (Subscript[y, k])=f((k/n)) を上の式で定義して,  座標点 ( (Subscript[x, k]), (Subscript[y, k])) の集合を折れ線で結んでいくことで解  y = f(x)  が近似される．すなわち
n  ->  ∞ とすると折れ線が解 y = f(x) に近づく．