Clear[f]; f[x_] := 2  x

Clear[x, y]; x[n_, k_] := N[k/n]; y[n_, 0] := 0; 
    y[n_, k_] := Sum[f[i/n]*(1/n), {i, 0, k - 1}]

Clear[T]; 
    T[n_, m_] := Table[{x[n, k], y[n, k]}, {k, 0, m*n}]

\(区間[0, 
          m] 上で, （２） ， （３） で考えた折れ線を\ g[n, 
          m] として赤色で定義します．\)

Clear[g]; 
    g[n_, m_] := 
      ListPlot[T[n, m], PlotJoined -> True, AspectRatio -> Automatic, 
        PlotRange -> {0, m^2}, PlotStyle -> Hue[0.0]]

\(n = 
        4\ のとき，区間[0, 
            2] 上で描いてみる\)

g[4, 2]

\(区間\ [0, m]\)におけるf(x)=(x^2)のグラフを g[m]として青色で定義します

\(Clear[G]; 
    G[m_] := Plot[x^2, {x, 0, m}, PlotStyle -> Hue[0.6], 
        PlotRange -> {0, m^2}, 
	AspectRatio -> Automatic]\)

\(区間\ [0, 
          m]\ 上で描いてみる\)

G[2]

上の折れ線と同時に描いてみる

Show[g[10, 2], G[2]]

\(区間[0, 1] 上で，n = 5, 15, 20,  ... , \ 
        55\ まで\)
折れ線を (x^2)のグラフと同時に描いてみる

Do[Show[g[n, 1], G[1]], {n, 5, 55, 10}]