積分　(∫_0^m) 2  x dx　の計算

定積分 (∫_0^m) 2  x dx の計算は次のようになされる．

((x^2))' = 2  x だから，

　　　　　　　(∫_0^m) 2  x dx = (Subscript[([(x^2)]), 0]^m) = 
          (m^2)

この計算は次の理由による

（１）閉区間 [0,m]をn個の小区間 [(Subscript[x, i]), (Subscript[x, i + 1])]に分割する．
（２） F (x) = (x^2) は 開区間 (0,m) で微分可能で F' (x) = 2  x を満たす．
（３）以下ような点 (Subscript[ξ, i])を選び，f ((Subscript[ξ, i]))と (Subscript[x, i + 1]) - (Subscript[x, i])の積を各小区間について加えて和をつくる

           　 (Subscript[s, n])=(∑_(i = 0)^(n - 1))f ((Subscript[ξ, i]))×( (Subscript[x, i + 1]) - (Subscript[x, i]))

ここで (Subscript[ξ, i])は次の平均値の定理によって定まるとする．

\(\(F \((x\_\(i + 1\))\) - F \((x\_i)\)\)\/\(x\_\(i + 1\) - x\_i\) = \(F' \((ξ\_i)\) = f \((ξ\_i)\)\)\)

このとき，f ((Subscript[ξ, i])) ((Subscript[x, i + 1]) - (Subscript[x, i])) = 
        F ((Subscript[x, i + 1])) - F ((Subscript[x, i]))だから，

(Subscript[S, n])=(∑_(i = 0)^(n - 1))F ((Subscript[x, i + 1])) - 
            F ((Subscript[x, i])) = F (m) - F (0)

このような分割と点 (Subscript[ξ, i])を選んで和  (Subscript[s, n]) を考えていく限り，常に

(Subscript[　S, n])=F (m) - F (0)

n -> ∞ としても，上の値は一定だから

(∫_0^m) 
                    f (x) \[DifferentialD]x = F (m) - F (0) = 
                  (m^2)

上と同じ理由によって   x = (k/n) とすると

　　　(∫_0^x) f (t) \[DifferentialD]t=F (x) - F (0)=(x^2)

このことから，折れ線　は関数　 (x^2)のグラフに近づくことが分かる．