積分　(∫_a^b) f (x) dx　の定義

閉区間 [a,b] で連続な関数 f(x) について定積分 (∫_a^b) f (x) dx は以下のように定義される．
（１）閉区間 [a,b]をn個の小区間 [(Subscript[x, i]), (Subscript[x, i + 1])]に分割する．
（２）任意の点 (Subscript[ξ, i])を選び，f ((Subscript[ξ, i]))と (Subscript[x, i + 1]) - (Subscript[x, i])の積を考え，さらに各小区間について加えた和

            (Subscript[s, n])=(∑_(i = 0)^(n - 1))f ((Subscript[ξ, i]))×( (Subscript[x, i + 1]) - (Subscript[x, i]))

を考える．このとき，n  を大きくして，各小区間の幅が小さくなるようにしていくと，どんな分割を考えようと，点 (Subscript[ξ, i])をどのように選ぼうと， (Subscript[S, n]) の値は一定の値  α  に近づくことが証明される．この値  α を (∫_a^b) f (x) dx と表す．

ここでは，閉区間 [0,m] とする．ただし，m は正の整数．小区間を [0, (1/n)], [(1/n), (2/n)], [(2/n), (3/n)] , ...,  [((mn - 1)/n), (mn/n)] のように分割し，小区間 [(i/n), ((i + 1)/n)]における点  (Subscript[ξ, i]) を (Subscript[ξ, i])=(i/n)として選び，和

　　　 (Subscript[s, n])=(∑_(i = 0)^(mn - 1))f ((i/n))×(1/n)

を考える．例えば，f (x)=2x とするとき，n = 5 とし，下図のように積 f ((i/5))×(1/5) ( i = 0, 1, ..., 9)  を区間 [0,2] で加えた (Subscript[S, 5]) は長方形の面積の総和になる．