波ってなーに？

まずは見てみよう

正弦波と呼ばれるものです．まずは下のグラフをダブルクリックしてください．

Clear[g];g[x_, t_]:=Plot[Sin[x + t],{x, -2 Pi, 2  Pi},PlotRange -> {{-2 π, 2  π}, {-1, 
                  1}},AspectRatio -> Automatic,PlotStyle -> Hue[0.0],Ticks -> {{-2 π, -π, 0, π, 
                  2  π}, {-1, 1}}];Do[g[x, t], {t, 0, 10, 1}]

注意：sin (x + t) のグラフは，t を大きくしていくと，sin x  のグラフが左に移動するように描かれることに注意してください．これを t = 1, 2, ⋯ とアニメーションすることで
正弦波と呼ばれる進行波が実現されます．

今度は sin (x - t)のグラフでやってみましょう．下のグラフをダブルクリックしてください．

Clear[g]; 
    g[x_, t_] := 
      Plot[Sin[x - t], {x, -2 Pi, 2  Pi}, 
        PlotRange -> {{-2 π, 2  π}, {-1, 1}}, 
        AspectRatio -> Automatic, PlotStyle -> Hue[0.0], 
        Ticks -> {{-2 π, -π, 0, π, 
              2  π}, {-1, 1}}]; Do[g[x, t], {t, 0, 10, 1}]

考察（ 定在波と進行波）

（１）二つの正弦波 sin (x - t) と sin (x + t) を合成します（和を考えます）．

Clear[g]; 
    h[x_, t_] := 
      Plot[Sin[x + t] + Sin[x - t], {x, -2 Pi, 2  Pi}, 
        PlotRange -> {{-2 π, 2  π}, {-2, 2}}, 
        AspectRatio -> Automatic, PlotStyle -> Hue[0.0], 
        Ticks -> {{-2 π, -π, 0, π, 
              2  π}, {-2, 2}}]; 
    Do[h[x, t], {t, 0, 6, 0.3}]

観察：今度は上下の「動き」に変化しました．

注意：ここで数学的に和を考えます．このとき，高校で学んだ和の公式

sin A + sin B=2sin((A + B)/2)cos((A - B)/2)

を適用すると，

sin (x + t) + sin (x - t)=2sin x cos t

となり，sin x の大きさを 2 倍にした波形 2  sin x が上下に縮小拡大を繰り返す動きに変化します．

このように，二つの左右に移動する進行波を合成する（和をとる）と，上下に移動する波へと変化します．点 kπ （k は整数）は動きません．このような波を定在波といいます．

（２）加法公式との関連．

加法公式は

sin (A + B)=sin A cos B +cos A sin B

と表されます．ここで A=x , B=t とすると

sin (x + t)=sin x cos t +cos x sin t

となります．t = 1, 2, 3,  ⋯ とすると，どのような波動現象が見られるでしょうか．
まず，sin x cos t, cos x sin t の動きを見てみましょう．

Clear[G]; 
    G[t_, k_] := 
      Plot[{Sin[x] Cos[t], Cos[x] Sin[t]}, {x, -π, π}, 
        PlotRange -> {{-π, π}, {-1, 1}}, 
        AspectRatio -> Automatic, 
        PlotStyle -> {Hue[0.4], Hue[0.6]}, 
        Ticks -> {{-π, 0, π}, {-1, 1}}]; 
    Do[G[t, x], {t, 0, 4  π}]

注意：縦方向に注目して見ましょう．sin x cos t のグラフは，t を大きくしていくと，sin x  のグラフ（緑）を上下に縮小拡大するように描かれることに注意してください．同じように cos x sin t のグラフも，t を大きくしていくと，x 軸から出発して cos x  のグラフ（青）を上下に縮小拡大するように描かれます．

つぎに \(sin\ x\ cos\ t\  + \ \(\(cos\)\(\ \)\(x\)\(\ \)\(sin\)\(\ \)\(t\)\(\ \)\)\)のグラフ（赤）を追加して，その動きを観察してみましょう．

Clear[G]; 
    G[t_, k_] := 
      Plot[{Sin[x] Cos[t], Cos[x] Sin[t], 
          Sin[x] Cos[t] + Cos[x] Sin[t]}, {x, -π, π}, 
        PlotRange -> {{-π, π}, {-1, 1}}, 
        AspectRatio -> Automatic, 
        PlotStyle -> {Hue[0.4], Hue[0.6], Hue[0.0]}, 
        Ticks -> {{-π, 0, π}, {-1, 1}}]; 
    Do[G[t, x], {t, 0, 20, 0.5}]

注意：青，緑の縦方向の動きに追加して， x 軸上の赤の動きに注目しましょう．
sin x cos t + cos x sin t のグラフは，t を大きくしていくと，sin x  のグラフ（赤）を左に移動されるように描かれることに注意してください．これは sin (x + t) と同じグラフだから当然です．

このように加法公式は二つの上下する定在波を合成する（和をとる）と，左に移動する進行波へと変化させる意味を持っています．

これで終わりです．

Thank you very much