正弦関数と多項式近似の差

Clear[f, c, F]; f[x_] := Sin[x]; Clear[c]; 
    c[k_, a_] := D[f[x], {x, k}]/k! /. x -> a; 
    F[x_, n_, a_] := Sum[c[k, a] (x - a)^k, {k, 0, n}]

\(lesson4 . nb\ のように\), x=a  の近くで考える多項式  (Subscript[F, n])(x)が F[x, n, a]として定義されました. 例えば x=0 の近くで考える 3次の多項式 F[x, 3, 0] は

f(0)+f'(0)x +((f'' (0))/2) 
                  (x^2) + ((f''' (0))/6) (x^3) = x - (1/6) (x^3)

\(\(\(と計算されます\)\(.\)\)\)

\(次の\ H[n, a, m] は\),区間 [a-m,a+m] で 関数 y=sin x のグラフと n次関数 y=(Subscript[F, n])(x)のグラフの差を表すプログラムです.
例えば G[3, 0, 2  π] とすれば,区間 [-2π,2π] で 
 f(x)-(Subscript[F, 3])(x) = sin x-(π - x + (1/6) (((-π + x))^3)) \(\(のグラフが描かれます\)\(.\)\)

Clear[H]; 
    H[n_, a_, m_] := 
      Plot[f[x] - F[x, n, a], {x, a - m, a + m}, PlotStyle -> Hue[0.0], 
        PlotRange -> {-3, 3}]; H[3, 0, 2  π]

x=0の近くで は差は 0 \(\(と表されます\)\(.\)\)

次に x=0 の近くで大きい次数の多項式  y=(Subscript[F, n])(x)\(のグラフとの差を考えましょう . 
以下は\),y=sin x のグラフと y=(Subscript[F, n])(x) (n = 1, 2,  ... ,  
                    20) のグラフの差を区間 [-3 π, 3  π]で考察したものです.
\((下の最初のグラフをクリックし, \(\(点線で囲まれたらダブルクリックしてください\)\(.\)\))\)

Do[H[i, 0, 3*Pi], {i, 1, 20, 2}]